分式求值问题的解题技巧

【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《分式求值问题的解题技巧》，欢迎阅读！

分式求值问题的解题技巧（二） 六、特殊值法

【例6】（2004年安庆市初中数学竞赛题）已知abc≠0，且a+b+c=0，则

a(

1a1c)b(

1c1a)c(

1a1b

)的值为_______．

12

解：依题意，不妨令a=1，b=1，c=-2，则原式=（1-）+（-

12

+1）-2（1+1）=-3．

评注：根据填空题的特点，取满足条件的a、b、c的特殊值，问题立即获解，令人耳目一新．

七、解方程（组）法

【例7】（2003年合肥市初中数学竞赛题）已知x、y、z、a、b、c都为实数，•且xayaza1,

axbycz

=0，求

xa

22



yb

xa

22



yb

zc

22

的值．

zc

解：由已知得abc≠0，xyz≠0．将

xa

22

=1两边平方得



yb

22



2xy2xz2

2cabaccz

z

2

yz

=1 ① bc

将

xa



by

=0两边同乘以

xyzabc

，得

yzbc



xzac



xyab

=0． ②

①-②×2得

xa

22



yb

22



zc

22

=1．

评注：将待求值的分式整体视为一个未知数，再利用已知条件，通过解方程或方程组求出这个未知数．

八、构造一元二次方程法

【例8】（2002年沈阳市初中数学竞赛题）已知2a-7a=-2，2β+2=7β，且α≠β，求的值．

解：由已知条件，得2a2-7a+2=0，2β2-7β+2=0．因α≠β，故是一元二次方程2x2-7x+2=0的两个不等实根． ∴α+β=

72

2

2



2





2

，αβ=1，于是，


原式=



33

=α-β= （α-β）（α+αβ+β）

3322

=±()24[()2] 727245

=±()4[()1]

228

33

评注：这里不直接求α与β的值，而是从α与β所满足的方程的共同特征出发，构造出一个一元二次方程，使问题顺序获得解． 九、整体拆出法

【例9】（2004年太原市初中数学竞赛题）若实数x、y、z满足3x+7y+z=•1•和4x+10y+z=2005，求分式

x3y

2004x2004y2004z

的值．

解：由题意得方程组

3x7yz1,

4x10z2005.

2(x3y)(xyz)1,



3(x3y)(xyz)2005.

x3y2004,

解之得

xyz4007.

于是原式=

x3y2004(xyz)



14007

．

评注：这里待求分式的分母是2004（x+y+z），分子是x+3y，尝试从已知的不定方程组中整体拆出x+y+z和x+3y，果然获得成功，再整体消元就能立即求出x+y+z与x+3y这两个整体的值．

十、竖式相除法

【例10】（2002年杭州市初中数学竞赛题）已知x-5x+1=0，求的值．

解：视2x4-9x3-x2-10x+2为被除式，x2-5x+1为除式，利用竖式相除法得 2x4-9x3-x2-10x+2

=（2x2+x+2）（x2-5x+1）+（-x）．

2

2x9xx10x2

x1

2

432

本文来源：https://www.dy1993.cn/4ZR4.html