数学分析期末考试试题

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数学分析期末考试试题

一、叙述题：（每小题6分，共18分）

1、 牛顿-莱不尼兹公式 2、



a

n1

n

收敛的cauchy收敛原理

3、 全微分

二、计算题：（每小题8分，共32分） 1、lim

x2



0

sint2dtx

4

x0



2

2

2、求由曲线yx和xy围成的图形的面积和该图形绕x轴旋转而成的几何体的体积。

xn3、求的收敛半径和收敛域，并求和

n1n(n1)



2u

4、已知ux ，求

xy

三、（每小题10分，共30分）

1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数 2、讨论反常积分

yz





0

xp1exdx的敛散性

x2

1n2

x(,)的一致收敛性

3、讨论函数列Sn(x)

四、证明题（每小题10分，共20分）



xn11

1(n1,2)，证明xn发散 1、设xn0,xnnn1

xy



2、证明函数f(x,y)x2y2

0

在该点不可微。，

x2y20x2y20

在（0，0）点连续且可偏导，但它

参考答案

一、1、设f(x)在[a,b]连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则成立



b

a

f(x)dxF(b)F(a)

2、0.N0,使得mnN，成立an1an2am

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3、设DR2为开集，zf(x,y),(x,y)D是定义在D上的二元函数，

P0(x0,y0)为D中的一定点，若存在只与点有关而与x,y无关的常数A和B，使得

zAxByo(x2y2)则称函数f在点P0(x0,y0)处是可微的，并称

AxBy为在点P0(x0,y0)处的全微分

二、1、分子和分母同时求导

x2

lim

x0

0

sint2dtx6

2xsinx41

lim（8分） 5x036x

1

2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）

12

（3分） (xx)dx0

3

135

所求的体积为：(xx)dx（3分）

010

所求的面积为：

1

xn(n1)(n2)

1，收敛半径为1，收敛域 3、 解：设f(x)，lim

n1n(n1)n1

n(n1)

[-1，1]（2分）

xn111

f(x)2ln(1x),(0x1),

xxn1(n1)

'



f(x)f'(t)dt1

0

y

x

1x

ln(1x),(0x1)(3分） x

y

y

x=0级数为0，x=1，级数为1，x=-1，级数为1-2ln2（3分）

12ulnx1uz

xzlnxxz4、解： =x（3分）(5分） xyzzxy

三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe判别法等（应写出具体的内容4分）

(n1)!

1n(n1)n1

limlim(1)e1（4分）由D’Alembert判别法知级数收敛（1分） nnn!n1

nn

2、解：





0

p1x

xp1exdxxp1exdxxp1exdx（2分），对xedx，由于

0

1

0

11

x

1p

x

p1x

e

1(x0)故p>0时x

0

1

p1x

p1x

edx收敛（4分）；xedx，由于

1





xx

2p1x

e

0(x)（4分）故对一切的pxp1exdx收敛，综上所述p>0，积分

1

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收敛

3、解：Sn(x)收敛性（6分）

四、证明题（每小题10分，共20分） 1、证明：

x2

1

收敛于x（4分）limsupSn(x)x0所以函数列一致

nx(,)n2

x3x4xx12n211

nnxnx2,(n2)（6分） x2x3xn1x223n1n1n1

1

发散，由比较判别法知级数发散（4分） n2n1

2、证明：0|



xyxy

2

2

||xy|（4分）

(x,y)(0,0)

lim

xyxy

2

2

=0所以函数在（0，0）点

连续，（3分）又lim

xy0

lim（4分）但0，fx(0,0),fy(0,0)存在切等于0，

(x,y)(0,0)x2y2x0x

不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）

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本文来源：https://www.dy1993.cn/w80.html