2020年新编数学分析第二学期期末考试题及答案名师资料

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数学分析第二学期考试题

分，4一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题 分）共32)xf(a,b ）]上可积的必要条件是（在[1、 函数 b

、有原函数 C 、无间断点 DA、连续 B、有界)f(xa,a 上可积，则（ b 是奇函数，且在[-2、函数）]aaa

a0aaaa

0f(x2x)dx)f(x)dxdxf( A、 B、

aa0

)adx2ff(x)dx(f(xf(x)dx2) 、、 DC

a ）3、 下列广义积分中，收敛的积

分是（11111

xdxsindxdxdx C、 B、 、A、 D

3xxx0101

aalima0

的（收敛是 c 、级数） 部分和有界且4nnnn1nn1A 、充分条件 B、必要条件 C、充分必要条件 D 、无关条件

5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是（ a ）

11e

xdxarcsindx 、 A、 B



1

xlnx0 exsin111

dxdx

D、 C、

x210x16、下面结论错误的是（ b ）

f(x)[a,b]f(x)[a,b]上必有界；A、若 上可积，则在在bf(x)dx ),bx()(af存在； B、若在内连续，

则a )xf(,ab]]f(x)[[a,b上可积，则C、 在上必可积； 在若f(x)[a,b]f(x)[a,b]上必可积。 在若D、 上单调有界，则在7、下列命题正确的是（ d ） 





(xa)ab]绝对收敛必一致收敛A、[， 在a(x)ab 一致收敛必绝对收敛B、] ，[在

n1n

n1n



(xa)0x)|lim|a(ab]必绝对收敛，，则在C、 若[



n1n2

nnn1n

a(x)ab] 条件收敛必收敛，D、在

[ n1n1)1(x、 8的和函数为（ c ）、、 CA、 12n0nxxcose)ln(1xxsin D 、

B 28分）：（每小题7分，共二、计算题922算计算

n2n

dx1x)dx4xf(2(fx) 9、，求。1dx。 10、计

01



2x2x20n)1(1

x。 的和函数，并求11、计算

n



12、 nn1n1ndx



（每小题10分，共20分） 22xxsincos三、讨论题与应用：

x2sin



1n

)1(的敛散性 、讨论13 n2n222xy8x2y分成两部分，求这两部分面积

之比。14、抛物线 把圆四、证明题：（每小题10分，共20分） 15、设f(x)是以T为周期的函数，且在[0，T]上可积，证明

aTT

dxx)dx(ff(x) f(sinx)dx)xf(sinxdx)f(xba，，并求]连续，证明在[、设16

0a



200xsinxdx



2xcos10




参考答案C C10、、D8、C9、、B3、A4、C5、C6、D7一、1、B 21222222

1u2x)1(2xf(2xx1)dxf(2x1)d，令、3分）（二、1



20019222(u1)dx)dufxf(2x 分）（3 21011AA )x1x)limarctan(1(limddx 6、分）

=（2



224)x1(1xx2200AA011



xn111nnn)1(1x



1nn'

xx)xf()1)f(x,1[，2

分），==（，3、解：令由于级数的收敛域分）=，得2（ ，令

2ln)x1dtln()f(x1x

nt101nzz2202zxz3zz22zx分）4、解：两边对（求导3分）2（（122yxyxlim0x|0|分）（（1分） 5、解：5 xxx2xx2z3)1,1(1, 分）

（3-2，由于2=-2，）=2时，级数均不收敛，所以收敛域为 2222yxyx0x0yxx 分）

（2224yyxx4220yxy

（三、12、 y)f(x,222 分）

解、)y(xx220y0x2422y4xxy220yxx ,y)(fx222 分）(4)yx(y220y0x2),0f(0f(0,y)zxx1)lim(0,0 yxy0y)0(0,0x,)ff(2zyy1lim0(0,) 分）（6

xyx0xn2nx2sin221n1sinx2x2sin1(|lim)|（32、解：由于级数绝对收敛，即分）nnn22xsinx1212sin级数发散（条件收敛，7分） 分）2所以原级数发散（．

四、证明题（每小题10分，共20分）

f(x)M0b，a，ba，使得上有界，即在[1、证明：因为上可积，故在[]]1x)a(x)|dtf(x)M|f(t

分）从而3（一般来说，121an1n1)aM(M(xa)b f(x)n))f(x(n ])ba,(x[f(x)M，分）则有5，所以若对（于0（2在[分） naTaa





nn(n1)!(n1)!{f(x)}a，b]上一致收敛

00T

dt(t)tT)xTtff(tT)d(f(x)dx （4分）（2）

将式（2）





代入（1）得证（2分）

xxxx

zzz1xx1z yyyyexeye0xye，（32、分） （7分）则 ，







22yyxyyxyytx 、 证明：令

30

dtt)dt)tf(sindxxf(sinx)()tf(sin(t))dtt(sinf7得证

dxdx分） 3分）（









（0002xsinxsinx

22

82xxcos1cos100．

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