15、信息学奥赛有关数学知识3

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1、 对没有三条对角线交于一点的凸n多边形，计算各边及对角线所组成的互不重叠的区城

个数。

3N3 + 4n4 + 5n5 + knk=4(n,4)+n(n-2)

180n3+360n4+540n5+….+(k-2)180nk=360(n,4)+(n-2)180 n3+2n4+3n5+….+(k-2)nk=2c(n,4)+(n-2) 2n3+2n4+2n5+….+2nk=2C(n,4)+(n-1)(n-2) n3+n4+n5+…+nk=c(n,4)+c(n,2)



2、 设N位客人，在晚会上每人与他人握手D次，D是奇数。证明N是偶数。 Nd是偶数， d是偶数，则N必为偶数

3、 13人的小组至少有[13／12]=2人生日在同一个月.



4、 抽屉里有10双手套,从中取出11只出来,其中至少有[11/10]=2只完全配对.



5、 边长为1的正方形内部任置5个点,则其中必有2个点,它们之间的距离小于或等于

sqrt(2)/2



6、 容斥有理(略)的应用----错排

Dn=|I|-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)+…+(-1)^(n-1)*C(n,n)

=N!(1-1/1!+1/2!+…+(-)1/n!


如书架上5本书拿下来放回去没有书放回原处,问有几种放法? 5!(1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-1/5!) =60-20+5-1=44

7、 母函数的应用

a0+a1x+a2x^2+….+aiX^I+….. （1）天平称物：

1克、2克、3克、4`克的法码各一枚，有几种方法称4克？

（1＋x）(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=1+x+x^2+2x^3+3x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^10



若法码为1克3个、2克4个、4`克2个，问能称出几种重量？各有几方法？

（1＋x+X^2+x^3）(1+x^2+X^4+x^6+x^8)(1+x^4+x^8)展开式中可得。

（1＋x）^3 *(1+x^2)(1+x^4)



（2）现有10只球，分给A、B、C、D四个盒子，A盒不得少于4个，B盒不得多5

个,C盒只准放偶数个，D盒无限制，问有几种方法？

（x^4+x^5+….）(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x^2+x^4+x^6+….)((1+x+x^2+x^3+….) 展开式中X^10的系数即为所求。

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