2020-2021《数学分析 》(二)期末课程考试试卷A(含答案)

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2020-2021《数学分析》（二）期末课程考试试卷A



4. 若级数(1)n

n0



n1

条件收敛，则 ( D ). 3a

n

（A）a0 , (B) aR, (C) a1 , (D) 2/3>a1/3.

一、 填空题（3分5=15分）.

1x0

5. 设函数f(x)= 以T2为周期，其傅里叶级数的和函数为S(x)，则

线 名 姓 号 序订 级 班 系 院装 1.

f(lnx)

x[1f(lnx)]dxlnf(lnx)1c .



2.2455

[xsinxcosx]dx8/15 . 2

x23.ex2

dx

xlim



0

0

xarcsinx

=1 .

4.设e

x21

dxf(x)C则 f(x)=e

x21

xx2

1

.



x



5. f(x)e2

的麦克劳林级数为f(x)= (1)n

xn

n0

2nn!

二、 选择题（3分5=15分）.

1.若反常积分

x

1

xaedx收敛，则 ( A ).

（A）a0 , (B) aR, (C) a1 , (D) a0. 2. 若反常积分

0

1

1

(x1)a

dx收敛，则 ( D ).

（A）a0 , (B) aR, (C) a1 , (D) a1. 3. 若反常积分

sinx

1

xa

dx绝对收敛，则 ( C ). （A）a0 , (B) aR, (C) a1 , (D) a0.



10xS(6

4

)=（ B ）.



（A）-1 , (B) 1 , (C) 0 , (D)不存在.

三、计算题（6分5=30分）

1.求ln(x1)dx. 解：原式=xln(x1)

x

x1

dx-------------------4分 =xln(x1)xln(x1)C-----------------6分 2.求3

x2xdx.

1解：原式=2x(2x)dx+3

1

2

x(x2)dx--------------2分

=4

3

--------------6分 3.求

nlim1n(sinnsin2nsinn1n) .

解：原式=1n(k1)nlimnsin



k1

n1

=

0

sinxdx-------------2分

1


=

1

1



(cosx)0-------------4分

=2/

-------------6分

24.求1

x0

1x

2

dx.



解：原式=

2

sin2t

0

cost

costdx-------4分



=

-------6分

4

5. 求反常积分1

1

x2

(1x)

dx的值.解：因为



1

1111

x2(1x)

dx1x1dx1xdx1x2dx------------4分1ln2-------------6分



四、（1）求由曲线yx2与直线x0,x1,y1所围图形的面积. （2）求上述图形绕直线y1旋转一周而得立体体积. (10分).

解：（1）s1

0x2dx143

--------------------5分

（2）v1

(x21)228

0

dx

15

--------------------10分 



五、证明：若级数a2

an

n收敛，(an0)也收敛. (4分) n1



n1n





证明：因为级数 1

2n

2 ，

n

收敛------------2分

n1a

n1





所以

(

1n2a2n)收敛，又ann12(12

n1

n

2

an) 

则

an

(an0)也收敛. ----------------4n1

n分 

六、求幂级数(1)n

xn

的收敛半径、收敛域与和函数，又求n0n1(1)n1

的n0

(n1)2n

和(10分)





n

解： 令 s(x)(1)nxn0

n1

xs(x)

n1

(1)nx ， n0

n1

[xs(x)]=(1)nxn=

1

1x

，x(1,1)

n0



xs(x)



x

1

0

x1

dxln(x1) s(x)

ln(x1)

x



x0



x0,s(x)0 ------------------4分

收敛半径为1 ，收敛域为（-1，1]。------------------8分



(1)

n

1n0

(n1)2n

=2ln3

2

------------------10分 七、设f(x)0， 在[0,)上连续，证明(x)x

x

0

tf(t)dt/0

f(t)dt为(0,)上单调增加

函数.(6分)

1x0八 、设f(x)= ，

求f(x)的傅里叶级数形式. (6分)



10x解：傅里叶级数的系数：

2






a2



2

n0 ，bn





0

sinnxdx=

n

[1(1)n]------------------4分 

x0, f(x)=

4

sin(2n1)n1

(2n1)x x0, 傅里叶级数收敛于0 . ------------------6分



九、证明: 函数项级数(1)nxn 在[r,r]上一致收敛（0r

1）. (4分)

n0

证明: 因为(1)nxnrn----------------2分 

又因为 数项级数

r

n

收敛，

n0



所以(1)nxn 在[r,r]上一致收敛.------------------4分

n0

3

本文来源：https://www.dy1993.cn/B80.html