数学分析试卷(附答案)

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期 末 统 考 试 卷



A

√ 选修□ 限修□ 考试形式：闭卷□√ 开卷□ 201 - 201 学年第 一 学期 课程代码 课程名称 数学分析I 学分 5.5 课程性质：必修□

专业班级（教学班） 201 级数学，信息计 考试日期 命题教师 系（所或教研室）主任审批签名 一.(10分)（1）叙述“海涅归结原则”

（2）叙述“一致连续定义” 二.(18分) （1）lim

（2）lim

n

k0n1

四.（12分）已知f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内f''(x)存在，设连接A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线与曲线yf(x)在异于A,B点的另一点C(c,f(c))处相交，c(a,b)，试证明：在(a,b)内至少有一点，使f''()0.

五.（12分）设函数f(x)四阶可导，f

(4)

1

[(2n1)2(2n3)3(2n5)n]； nn3

(x)0，且lim

x0

f(x)3

f(x)x1，证明：. 3

x

e

1kn

n

kn2

2

；



六.（12分）判别函数f(x)ex在区间(0,l)内的一直连续性，并证明；再证明函数f(x)3x

在[0,1]上是一致连续的.

七.（12分）设函数f(x)amxmam1xm1a0，求f

八.（12分）设函数f(x)在[1,2]上有二阶导数，且f(1)f(2)0,又F(x)(x1)2f(x)，

证明在(1,2)内至少存在一点，使F''()0；另外，若f(x)在区间X中有|f'(x)|M成立，证明：f(x)在X中一致连续.

(n)





x2

11x2

（3）lim2. x2x0

(cosxe)sinx

2

(1).

三.求下列函数的导数（12分）

（1）y2(x)2(x)

（2） xacos3t yasin3t

（3）求y

1

的n阶导数 2

x2x8



命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A”、“试卷B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。






期 末 统 考 试 卷



A

√ 选修□ 限修□ 考试形式：闭卷□√ 开卷□ 201 - 201 学年第 一 学期 课程代码 课程名称 数学分析I 学分 5.5 课程性质：必修□

专业班级（教学班） 201 级数学，信息计 考试日期 命题教师 系（所或教研室）主任审批签名

一.（1）limf(x)A的充要条件是为任何以x0为极限的数列{xn}(xnx0)，都有f(xn)A(n)

xx0

五.证：由lim

x0

f(x)

1，可知f(x)前两项均为零构成零比零型，第三项设为kx3，易知k1（感兴趣可3x

'''

3

(4)

（2）设函数f(x)在区间X（或开，或闭，或半开半闭）内满足对任意的0，可找到只与有关而与

以证明），对f(x)在x0处进行泰勒展开，f(x)000(f(0)x)/3!(f

(0)x4)/4!L，两

X内的点x无关的0，使得对X内任意两点x1,x2，当|x1x2|时，总有|f(x1)f(x2)|，

就称f(x)在X内一致连续.

1en1

二.（1） （2）e1（提示：利用夹逼准则，得到e3n1k0

三.（1）

1

n

1kn

1n1

原式e

nk0

1kn

） （3）

1 12

f(x)(4)(4)4

f(x)0，，由极限体现出的性质可知，又1(f(0)x)/4!L0L3

x

f(x)

两边同时取极限（x0），由极限保号性得到31.

x

边同时除以x，得到

3

(x)'(x)(x)'(x)

2(x)2(x)

(1)n11

（2）tant （3）n!() n1n1

6(x4)(x2)

四.证：第一步：设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(b)f(a)g(b)g(a)，则设F(x)f(x)g(x)，可知在(a,b)内至少有一点c，使得f(c)g(c)

第二步：设acb,f(x),g(x)都在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，且

''''

则在(a,b)内至少存在一点,f()g()，首先由第一步知，f(a)g(a),f(c)g(c),f(b)g(b)，

'

'

存在1(a,c),f(1)g(1)，同理可知在(c,b)上有一点2,f(2)g(2)；再记

''''

h(x)f'(x),k(x)g'(x)，在[1,2]上考虑这两个，易知h(x),k(x)满足第一步条件，从而存在

(1,2)使得h'(x)k'(x)，即是f''()g''()

第三步：设直线AB的方程是yg(x)

f(b)f(a)

(xa)f(a)，显然有

ba

''''''

g(a)f(a),g(b)f(b),g(c)g(c)，由第二步可知，存在(a,b)，使f()g()，而g(x)0，

''

所以f()0.



六、七、八略

命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A”、“试卷B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。

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