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第6课 相似三角形的判定与性质
1、定义：形状相同、大小不等的三角形是相似三角形
√ 对应角相等、对应边成比例的三角形是相似三角形。
2、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形
与原三角形相似。 3、性质：(1)相似三角形的对角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形对应线段的比等于它们的相似比，即相似三角形对应边的比、对应中线、对应角平分线、对应高、对应周长的比都等于相似比； (3)相似三角形的对应面积的比等于相似比的平方． 4、相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
注意：①两个三角形的相似比具有顺序性。
②全等三角形是相似三角形的特殊情形，全等三角形的相似比是1。
③相似三角形周长之比等于相似比。即△ABC∽△A1B1C1， 若△ABC 的三边为
a,b,c△A1B1C1三边为a1,b1,c1,有
abcabc
=k =k，从而得出
a1b1c1a1b1c1
5、相似三角形的判定：
判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．
直角三角形相似的判定：
斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似
6、三角形的重心
(1)三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
(2)三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．
例题
1、已知△ABC的重心G到BC边上的距离为5，那么BC边上的高为( ) A．5 B．12 C．10 D．15
2、（05年山东泰安）如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为（ ） (A)3 (B)3或
4 3
(C)3或
3 4
(D)
4 3
D
EO
A
F
BC
3、在梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC，BD相交于点O，过点
OE
O的直线分别交上下底边于E，F两点，则在图中与相等的比有
OF
（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
4、（05年北京）在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2BD·DC，则
∠BCA的度数为__________．
5、(05年武汉)已知:如图7，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连结DE并延长交BC延长线于F，连结DC、BE．若∠BDE+∠BCE=180°． （1）写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；
（2）请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由．
6、在正方形ABCD中，E、F分别在边AD、AB上，且AEAF，又AGBE于D
C
G，如图2。求证：GFGC。
G E
AFB
ABABBCBCABCABC7、如图4，∥，∥。求证：∽。 图 2
BC C'
B'
A OA'
图 4
8、如图6，在△ABC中，BC>AC， 点D在BC上，且DC＝AC∠ACB的平分线
AC交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.
⑴求证：EF∥BC.
EF
⑵若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
1
2
B
D
图6
9、如图7，在△ABD和ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G.
（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由；
（2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG 和 FB的比例中项吗？为什么？ 图7
10、如图2,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向C点以4cm/s的速度移动,如果P、QA
P 分别从A、B同时出发，经几秒种△PBQ与△ABC相似？
B
C
C
Q
图2
本文来源：https://www.dy1993.cn/zB04.html
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2023-05-09
