大一(第一学期)高数期末考试题及答案

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大一上学期高数期末考试

一、单项选择题 (本大题有4小题， 每小题4分， 共16分） 1. 。

(A） （B）(C） （D）不可导. 2. .

(A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； (B）是等价无穷小; （C）是比高阶的无穷小; （D）是比高阶的无穷小。 3. 若，其中在区间上二阶可导且,则（ ）。 (A)函数必在处取得极大值； （B)函数必在处取得极小值；

（C)函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； (D)函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 (A) （B）（C） （D）.

二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 4. 。 5. . 6. 。 7. .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分,共40分） 8. 设函数由方程确定,求以及。

9. 设函数连续，,且，为常数。 求并讨论在处的连续性。 10. 求微分方程满足的解。

四、 解答题（本大题10分）

11. 已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此

曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)

12. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D。

(1) 求D的面积A；（2） 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 13. 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的,.

14. 设函数在上连续，且，.证明:在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）

解答

一、单项选择题（本大题有4小题， 每小题4分， 共16分） 1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5. 。 6。。7. . 8。。

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

，

10. 解： 11. 解：


12. 解:由，知。 ,在处连续。 13. 解: ，

四、 解答题(本大题10分） 14. 解:由已知且，

将此方程关于求导得

特征方程： 解出特征根： 其通解为 代入初始条件,得 故所求曲线方程为:

五、解答题（本大题10分）

15. 解:（1）根据题意，先设切点为，切线方程: 由于切线过原点，解出,从而切线方程为： 则平面图形面积

(2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则

曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题,每小题4分，共12分） 16. 证明： 故有: 证毕。

证:构造辅助函数：。其满足在上连续,在上可导。，且 由题设,有，

有,由积分中值定理，存在，使即

综上可知。在区间上分别应用罗尔定理，知存在 和，使及，即.

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