高中数学《函数解析式》全面求法(7种)—优享文档

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高中数学《函数解析式》全面求法（7种）

一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x) 解：设f(x)axb (a0)，则

f[f(x)]af(x)ba(axb)ba2xabb



a2a24a2

  　或　　

b1b3abb3

f(x)2x1　　或　　f(x)2x3

二、 配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的

运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。 例2 已知f(x)x

1

x

2

1

(x0) ，求 f(x)的解析式 x2

解：f(x

111

)(x)22， x2 xxx

f(x)x22 (x2)

三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意

所换元的定义域的变化。

例3 已知f(x1)x2x，求f(x1) 解：令t

x1，则t1，x(t1)2

f(x1)x2x

f(t)(t1)22(t1)t21,

f(x)x21 (x1)

f(x1)(x1)21x22x (x0)

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数yxx与yg(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式

2

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解：设M(x,y)为yg(x)上任一点，且M(x,y)为M(x,y)关于点(2,3)的对称点

xx

22xx4 则，解得： ，

yyy6y32

点M(x,y)在yg(x)上

yx2x

把

xx4

代入得：

y6y

6y(x4)2(x4)

整理得yx7x6

2

g(x)x27x6

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程

组求得函数解析式。

例5 设f(x)满足f(x)2f()x,求f(x)

1

x

解 f(x)2f()x ①

1x

显然x0,将x换成

1

，得： x

11

f()2f(x) ② xx

解① ②联立的方程组，得：

x2f(x)

33x

例6 设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x)解 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，

1

,试求f(x)和g(x)的解析式 x1

f(x)f(x),g(x)g(x)

又f(x)g(x)

1

① ， x1

2


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用x替换x得：f(x)g(x)

1 x1

即f(x)g(x)

1

② x1

解① ②联立的方程组，得 f(x)

11

， g(x)x21x2x

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，

使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：f(0)1，对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，求f(x)

解对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2xy1)恒成立，

不妨令x0，则有f(y)f(0)y(y1)1y(y1)yy1 再令 yx 得函数解析式为：f(x)xx1

2

2

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代

等运算求得函数解析式。

例8 设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)1，对任意的自然数a,b 都有

f(a)f(b)f(ab)ab，求f(x)

解 f(a)f(b)f(ab)ab，a,bN，

不妨令ax,b1，得：f(x)f(1)f(x1)x，

又f(1)1,故f(x1)f(x)x1 ① 分别令①式中的x1,2

n1 得：

f(2)f(1)2,



f(3)f(2)3,f(n)f(n1)n,



将上述各式相加得：f(n)f(1)23n，

f(n)123n

n(n1)

2

f(x)

121

xx,xN 22

2

本文来源：https://www.dy1993.cn/tlr.html