中山大学岭南(大学)学院七月夏令营推免数学试题

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中山大学岭南（大学）学院七月夏令营推免数学试题 一、微积分部分 1（10分）.求极值：a0

lim

1aa

dx1x2a2



2（15分）.在点A（1，-2）邻域内对f(x,y)=2x2-xy-y2-6x-3y+5进行Taylor展开

3（15分）.应用一阶导数求最值的经济应用题，是个分段函数，还是很简单的，纸片实在太小，所以没写下来 二、线性代数部分

4（10分）.求f(x1,x2,x3)=x1+x2-ex1-ex2+2ex3-e

x32

的极值

5（10分）.若A2=A，而A不是单位矩阵，证明A必定是奇异矩阵。 6（10分）.若 

2112

x，求X 1214

三、概率论部分

7（10分）.X具有对称的密度函数p(x),即p(x)=p(-x),则对于F(x),a>0证明：

a1

（1）F(-a)=1-F(a)= 0p(x)dx

2

（2）p{lxl（3）p{lxl>a}=2-2F(a)

8（20分）.设（X,Y）二维连续，具有密度函数p(x,y) （1）令Z=X-Y,证明Z的密度函数是f(z)= 



p(x,xz)dx

（2）设g(·)是奇函数，证明若X，Y独立同分布，则E[g(x-y)]=0

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