二重积分的基本知识点讲解

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2015考研数学:二重积分的基本知识点

来源：文都教育

二重积分是考研数学中的大题常考点，主要考查的是同学们的计算能力。下面文都考研数学老师对二重积分的基本知识点进行一些讲解，以帮助广大考生备考。 １．二重积分的概念

设二元函数f(x,y)在有界闭区域D上有界． （1）将区域D划分成若干小区域1,2,（2）(i,i)i(1in)，作

n

,n；

；

f(,)

i

i

i1

i

（3）令max{di}，di为i的直径，

1in

f(,)f(x,y)dlim

D

0

i

i

i1

n

i

．

注：①二重积分与区域的划分及点的取法无关；

②若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分一定存在； ③④

f(x,y)d的几何意义是以D为底，以zf(x,y)为顶的曲顶柱体的体积；

D

f(x,y)d的物理意义是以f(x,y)为面密度的平面区域D的质量．

D

2．二重积分的性质 （1）（2）（3）（4）

[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d．

D

D

D

kf(x,y)dkf(x,y)d．

D

D

D1D2

f(x,y)df(x,y)df(x,y)d．

D1

D2



D

dA．

（5）（比较定理）若在D上恒有f(x,y)g(x,y)，则

f(x,y)dg(x,y)d．

D

D

（6）（估值定理）设M,m分别为f(x,y)在区域D上的最大与最小值，A为D的面积，则

mAf(x,y)dMA．

D

（7）（中值定理）若f(x,y)在闭域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在一点

(,)，使f(x,y)df(,)A．

D

（8）二重积分的对称性质

①若积分区域D关于x轴对称，则二重积分




D

f关于y为奇函数，即f(x,y)f(x,y)0,



f(x,y)d2f(x,y)d,f关于y为偶函数，即f(x,y)f(x,y)，其中D1为D

D1

在上半平面部分．

②若积分区域D关于y轴对称，则二重积分



D

f关于x为奇函数，即f(x,y)f(x,y)0,

其中D2为D在f(x,y)d2f(x,y)d,f关于x为偶函数，即f(x,y)f(x,y)，

D2

右半平面部分．

③设区域D关于yx对称，则

f(x,y)df(y,x)d．

D

D

④设积分区域D关于原点对称，f(x,y)同时为x,y的奇函数或偶函数，则



D

f关于x,y的奇函数，即f(x,y)f(x,y)0,

f(x,y)d2f(x,y)d,f关于x,y为偶函数，即f(x,y)f(x,y)，其中D1为

D1

D的右半平面部分．

3．积分法

（1）直角坐标法

①（X型区域）设D{(x,y)|axb,1(x)y2(x)}，则

f(x,y)d

D

b

a

dx

2(x)

1(x)

f(x,y)dy．

②（Y型区域）设D{(x,y)|1(y)x2(y),cyd}，则



D

f(x,y)ddy

c

d

2(y)

1(y)

f(x,y)dx．

（2）极坐标变换 令

xx0rcosxrcos(或)，其中D{(r,)|,r1()rr2()}，则

yrsinyy0rsin

f(x,y)dd



r2()r1()



D

rf(rcos,rsin)dr．

4．应用

（1）几何应用

设:z(x,y)((x,y)D)为空间曲面，则该曲面段的面积为

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