初中几何模型及常见结论的总结归纳

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初中几何模型及常见结论的总结归纳

三角形的概念

三角形边、角之间的关系：①任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边；②三角形内角和为180外角和为360；③三角形的外角等于不相邻的两内角和;

三角形的三线：1中线三角形的顶点和对边中点的连线;三角形三边中线交于一点重心 如图,O为三角形的重心,重心O分中线长度之比为2:1BO：OE2:1；DE、EF、DF分别为三角形BC、AB、AC边上的中位线三角形任意两边中点的连线,DE∥BC且

0

0

DE

1

BC; 2

几何问题中的“中点”与“中线”常常是联系再一起的;因此遇到中点这样的条件或关键词我们可以考虑中线定理与中位线定理进行思考; 中线中点的应用：

①在面积问题中,中线往往把三角形的面积等分,如果两三角形高相同,我们往往把面积之比转化为底边之比;面积问题转化为线段比的问题如上图,我们可以得到

SABFSACF，SBOF：SABOOF：AO1:2

②在涉及中线有关的线段长度问题,我们往往考虑倍长中线;

如图,已知AB,AC的长,求AF的取值范围时;我们可以通过倍长中线;

利用三角形边的关系在三角形ABD中构建不等关系;ABAC2AFABAC. 2角平分线三角形三内角的角平分线；三角形的三条内角平分线交于一点内心 如图,O为三角形ABC的内心内切圆的圆心；内心O到三边的距离相等OE平分线的性质定理；BAOCBOACO90；r

0

OFODr角

2SABC

SABC表示ABC的面

CABC

积,CABC表示ABC的周长； 关于角平分线角度问题的常见结论： 角平分线的性质定理：

角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上;


如图,AD是三角形ABC的内角平分线,那么

ABBD

; 

ACCD

3垂线三角形顶点到对边的垂线；三角形三条边上的高交于一点垂心 如图,O为三角形ABC的垂心,我们可以得到比较多的锐角相等如

ABOACO；ABCCOD等;因此垂线或高这样的条件在题目中出现,我们往往可

以得出比较多的锐角相等;等角或同角的余角相等,此外,如果要求垂线段的长度或与垂线段有关的长度问题,我们通常用面积法求解;在上图中,若已知AB，AC，CE的长度,求BE的长; 特别注意：在等腰三角形中,我们通常所指的三线合一就是指中线、角平分线、高线;三线合一：已知三角形三线中的任意两个条件是重合的,那么就可以得出第三条线也是重合的;在具体运用时,我们往往时把三线合一的等腰三角形补充完整再加以运用;

三角形全等

三角形全等我们要牢记住它的五个判定方法;SSS,SAS,ASA,AAS,HL

在具体运用时,我们需要找出判定三角形全等的各种条件,不外乎是关于边相等或相等的问题; 对于寻找角相等：常有四种方法：①两条平行线被第三条直线所截得出的“三线八角”的结论；②对顶角相等；③锐角互余；④三角形的外角等于不相邻的两内角和;

对于寻找边相等：常有三种方法：①特殊图形中隐含的条件如等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形;;;;;；②利用三线合一的正逆定理；③通过已有的全等三角形性质得出;

对于证明角相等,证明边相等,我们都要优先考虑边或角所在的三角形全等;一定要注意对应如果不能直接通过全等证明,我们就要转化角或转化边用上面的几种方法然后再考虑全等; 全等三角形的基本图形：

平移类全等； 对称类全等； 旋转类全等；

几何问题中常用的模型

平行和中点

三角形梯形的中位线;

倍长中线构造全等八字形全等通常是构造以中点为交叉点的八字形; 平行和角平分线

往往试图寻找等腰三角形,转化为边相等或角相等; 直角和中点

直角三角形斜边长的中线长等于斜边的一半 中垂线三线合一的模型

求线段的长：①勾股定理；②把求的线段放在三角形中考虑相似;

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