最新成人高考(专升本)高等数学一-成考核心考点笔记-成考-成考重点资料

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《2015年成人高考专升本高等数学一考试大纲》

笔记目录

第一章 极限和连续

第二章 一元函数微分学 第三章 一元函数积分学 第四章 空间解析几何 第五章 多元函数微积分学 第六章 无穷级数 第七章 常微分方程

前言 预备知识 函数

新修订的《大纲》中已删去了函数这一章内容，就是说函数知识在考试中不作考核要求，即不会单独出现有关函数概念及性质的试题，但因微积分学是以初等函数为研究对象，所以把函数做为预备知识，对于后面学好微积分学是十分必要的。 [复习要求]

1.理解函数的概念，会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单分段函数的图像。

2.理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。

[答]（3）设则[答]（4）设



，则





，

[复习考试要求] （一） 平面与直线

1.会求平面的点法式方程、一般式方程，会判定两平面的垂直、平行。

2.了解直线的一般式（交面式）方程，会求直线的标准式（点向式或对称式）方程，会判定两直线平行、垂直。 3.会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。

（二） 简单的二次曲面

了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。

第五章 多元函数微积分学 第一节 多元函数微分学

[复习考试要求]

1.了解多元函数的概念、二元函数的几何意义。会求二元函数的表达式及定义域。了解二元函数的极限与连续的概念（对计算不作要求）。

2.理解偏导数概念，了解偏导数的几何意义，了解全微分概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。 3.掌握二元函数的一、二阶偏导数的计算方法。 4.掌握复合函数一阶偏导数的求法。 5.会求二元函数的全微分。

6.掌握由方程所确定的隐函数的一阶偏导数的计算方法。

7.会求二元函数的无条件极值。会用拉格朗日乘数法求二元函数的条件极值。

第二节 二重积分

[复习考试要求]

（1）理解二重积分的概念及其性质。

（2）掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。

（3）会用二重积分解决简单的应用问题（限于空间封闭曲面所围成的有界区域的体积、平面薄板的质量）。

第六章 无穷级数 第一节 数项级数

[复习考试要求] 数项级数

（1）理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件,了解级数的基本性质。

（2）会用正项级数的比值判别法与比较判别法。

（3）



（4）1，0，1，0，…都是数列。 在几何上，数列数轴上的点2.数列的极限 定义对于数列

，如果当

，…

可看作数轴上的一个动点，它依次取

。

[答] 2.函数的表示法

常用的函数表示法有三种：解析法、表格法、图示法。 （1）解析法（2）表格法 （3）图示法

函数的三种表示法各有优缺点，在具体应用时，常常是三种方法配合使用。 3.函数的图像

用图示法表示函数所得到的曲线，就称为函数的图像，用图像表示函数，使我们有可能借助于几何图形，形象直观地研究事物的运动变化过程，它对于理解高等数学中的概念、方法和结论是十分重要的。 描点法作图

（二）显函数、隐函数和分段函数 1.显函数

3.了解函数与其反函数之间的关系2.隐函数 （定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。 … … (剩余六章略) 4.熟练掌握函数的四则运算与复合运算。

完整版12页请联系——

5.掌握基本初等函数的性质及其图像。

QQ：1273114568索取

6.了解初等函数的概念。

7.会建立简单实际问题的函数关系式。

第一章 极限和连续 [主要知识内容]

第一节 极限 （一）函数的概念

[复习考试要求] 1.函数的定义

时，无限地趋

于一个常数A，则称当n趋于无穷大时，数列以常

数A为极限，或称数列收敛于A，记作



否则称数列没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。

数列极限的几何意义：将常数A及数列的项

依次用数轴上的点表示，若数列

以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点以无限靠近点A。

（二）数列极限的性质 定理1.1（惟一性）若数列惟一。

可

收敛，则其极限值必定

定义 设在某个变化过程中有两个变量x和y，变量y随变

1.理解极限的概念（对极限定义、、

量x的变化而变化，如果变量x在实数集合D或D的某一

等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左个子集合中每取一数值时，变量y依照某一法则f总有一

了解函数在一点处极限存在的充分必要条个确定的数值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记极限与右极限，

件。

为其中x叫自变量，y叫因变量或函数。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、

例如，匀速直线运动路程公式（其中v表示

无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较

速度）

（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 自由落体运动（其中g为重力加速度）

第二节 函数的连续性 在上述函数的定义中，重要的是：三因素两要素。

定义域 在数轴上使函数f有定义的自变量的取值范围D，[复习考试要求]

（1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在（3）掌握几何级数,调和级数与P级数称为函数的定义域。记为。

一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数（含分段函的收敛性。

对应规律 自变量x在D上取每一数值时，函数y按照某

数）在一点处连续性的方法 （4）了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布一确定的规律f，有确定的数值与之对应。

（2）会求函数的间断点。 尼茨判别法。

值域 函数y的取值范围，称为函数的值域，记为。 （3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推

第二节 幂级数 两要素：定义域，对应法则

证一些简单的命题。 [复习考试要求]

当自变量x取某一定值a时，函数的对应值记（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连（1）了解幂级数的概念。

续性求极限 （2）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、

为，有时也记为 例1.函数的定义 逐项求导与逐项积分）。 （1）各组函数中，两个函数相等的是 第二章 一元函数微分学 （3）掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论

第一节 导数与微分 端点）的方法。

A. [考纲要求]

（一）导数与微分 第七章 常微分方程 B.

（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续第一节 一阶微分方程 性的关系，掌握用定义要求函数在一点处的导数的方法。 ［复习要求］

C. （2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 （１）理解微分方程的定义、理解微分方程的阶、解、通

（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函解、初始条件和特解。 数的求导方法，会求反函数的导数。 （２）掌握可分离变量方程的解法。 D.

（4）掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所（３）掌握一阶线性方程的解法。

[答] B.

确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。 （2） 下列各组函数中，两个函数相等的是 第二节 二阶常系数线性微分方程 （5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

［复习要求］

（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与

（1）了解二阶线性微分方程解的结构。

可导的关系，会求函数的一阶微分。

（2）掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。 B. 第二节 微分中值定理及导数的应用

（3）掌握二阶常系数线性非齐次微分方程的解法[自由项

[复习考试要求]

C.

（1）理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意限定为其中为x的n次多项式，义，会用罗尔定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中为实常数]。 D.

值定理证明简单的不等式。 [答] C。

例2．求函数定义域

（2）熟练掌握用洛必达法则求""、""、""、



""型未定式的极限的方法。 （1）函数的定义域是

（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、

A. B. C.D.[答] B.

减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。

[解析]

（4）理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、 极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 （5）会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

解得 （6）会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 正文

… … (剩余六章略) （2）函数的定义域是

完整版12页请联系—— 第一章 极限和连续

A.B. QQ：1273114568索取 第一节 极限

[复习考试要求]

C.D.

第三章 一元函数积分学

[答] C。 1.理解极限的概念（对极限定义、、第一节 不定积分

等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左[复习考试要求]

极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条不定积分

（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定件。

[解析] 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 积分的性质，了解原函数存在定理。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、（2）熟练掌握不定积分的基本公式

（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较

（3）求函数的定义域 （高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换于三角代换与简单的根式代换）。

求极限。 （4）熟练掌握不定积分的分部积分法。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 （5）会求简单有理函数的不定积分。 [解析]由得或

[主要知识内容] 第二节 定积分

[复习要求] （一）数列的极限 （1）理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的1.数列 由得

条件

按一定顺序排列的无穷多个数 （2）掌握定积分的基本性质

（3）理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积故原函数的定义域为。

称为数列，记作，其中每一个数称为数列的项，第例3．求函数值或进行函数式的变换 分求导数的方法。

（4）熟练掌握牛顿 — 莱布尼茨公式。

n项。为数列的一般项或通项，例如 （1）设，则

（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

（6）理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 （1）1，3，5，…，，…

（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以

[答]

及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 （2）

第四章 空间解析几何 （2）设，则

定理1.2（有界性）若数列收敛，则它必定有界。

注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。

定理1.3（两面夹定理）若数列足

不

等

式

。

定理1.4若数列单调有界，则它必有极限。 下面我们给出数列极限的四则运算定理。 定理1.5（1）



，

，

满且

（2）





（3）当

时，

（三）函数极限的概念 1.当（1）当定义 对于函数时，函数时，函数

时函数时

的极限 的极限

，如果当x无限地趋于

无限地趋于一个常数A，则称当的极限是A，记作（当

时）

时

的左极限 ，如果当x从

的左边无限地

或

（2）当定义 对于函数趋于

时，函数

无限地趋于一个常数A，则称当

的左极限是A，记作



时，函数

或

例如函数

常数1.我们称：当

时，





无限地趋于一个的左极限是1，即有

当x从0的左边无限地趋于0时，

（3）当定义 对于函数趋于

时，函数

时，的右极限 ，如果当x从

的右边无限地

无限地趋于一个常数A，则称当

的右极限是A，记作

时，函数



或



又如函数

无限地趋于一个

当x从0的右边无限地趋于0时，

常数-1 。因此有 … … (剩余六章略) 完整版12页请联系—— QQ：1273114568索取

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由上述

，

极限的定义，不难看出：

极限是A，这表示当且仅当

这就是说，对于函数当

时，





时，函数

有相同的极限A。

来讲，因为有

所以，当

，

时，以及

时，函数

… … (剩余六章略) 完整版12页请联系—— 的QQ：1273114568索取



，时，

。

是无穷小量；而当

当时，sin ～

（六）两个重要极限

。

1.重要极限I

的左极限是1，而右极限是 -1，即

但是对函数

属三角函数的型的极限问题

该公式可以用下面更直观的结构式表示



时，

的极限存在，当就不是无穷小量。因此称为无穷小,即虽然当时，

量时，必须指出自变量的变化趋势。否则是毫无意义的。 时，（3）很小很小的数不是无穷小量，越变越小的变量也不



一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。

（4）无穷小量不是一个数，但"0"是无穷小量中惟一的一无个数，这是因为

。 2.无穷大量（简称无穷大）

2、重要极限Ⅱ

定义 如果当自变量（或）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化

为无穷大量。记作





的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，

当

时，

的极限不存在。

例如函数

限地趋于常数1：当

，当

时，

时，

也无限地趋于

同一个常数1，因此称当

限是1，记作



但是对于函数，当左极限是2，而右极限是2。

时，

的



其几何意义如图3所示.

时

的极过程中，



。

2.无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。

定理1.11 在同一变化过程中，如果



则为无穷小量；反之，如果

为无穷大量，属型的幂指型的极限问题

其中e是个常数，叫自然对数的底，它的值为： e=2.718 281 828 495 045…

为无穷小量，且

其结构式可表示为 （七）求极限的方法

1.利用极限的四则运算法则求极限；

例如当时，是无穷大量，而当2.利用两个重要极限求极限；

3.利用无穷小量的性质求极限；

（四）函数极限的定理 时，是无穷小量。 4.利用函数的连续性求极限；

5.利用洛必达法则求未定式的极限；

当时，是无穷小量，而当6.利用等价无穷小代换定理求极限。

定理1.7 （惟一性定理）如果存在，则极限

四则运算法则： 值必定惟一。

limf(x)=A limg(x)=B 时，是无穷大量。

设函数，，①lim〔f（x）±g（x）〕=limf(x)±limg(x)=A±B 显然，函数的左极限、右极限与定理1.8 （两面夹定理）3.无穷小量的基本性质

②lim〔f（x）×g（x）〕= lim·f(x)×lim·g(x)=A·B 性质1 有限多个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

在点的某个邻域内（可除外）满足条件 A 性质2 有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；③lim K（x）=K lim f（x）=K·

函数的极限之间有以下关系：

特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

性质3 有限多个无穷小量的乘积是无穷小量。 定理1.6 当时，函数的极限等于A的必④lim==（B≠0）

且有 。 性质4 无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷要充分条件是 ⑤limf(x)=〔limf（x）〕n=An

小量。 注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。 基本极限公式 4.无穷小量的比较 下面我们给出函数极限的四则运算定理 （1）limc=c



定义 设是同一变化过程中的无穷小量，即

这就是说：如果当时，函数的极限等于定理1.9 如果 则 （2）， A，则必定有左、右极限都等于A。 （1） 反之，如果左、右极限都等于A，则必有

（1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记

（3），

作；

（2） 。

这个结论很容易直接由它们的定义得到。

（2）如果则称是与同阶的无穷小（4） 量； 以上讲的是当时，函数的极限存在的情1.约分，求极限 况，对于某些函数的某些点

的极限也可能不存在。

2.当（1）当定义 对于函数

时，函数时，函数

的极限 的极限 ，如果当 处，当

时，

（

3

）

当



时

，

（3）如果为

～

；

[答]

则称

是比

较低价的无穷小



[答]0 2.当

因为

函数

的极限是A，记作（当

（2）当

时，函数

时）

的极限

或

（2）



因为

阶无穷小量（当

，所以称时）。

与x是同

计算极限

[答]0

一般地，有

是比

较高阶的无穷





穷小量（当

，所以称时）。

[答]3

与x是等价无



时

型的极限





则称

与

是等价无穷小量，记



，则为无穷大量。





上述运算法则不难推广到有限多个函数的代数和及乘积（4）如果的情形，并有以下推论：

量。记作

推论

时，例如： 时，（1）



无限地趋于一个常数A，则称当

（3）

定义 对于函数，如果当时，用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每

个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求

无限地趋于一个常数A，则称当 时，分母的极限不能为零，另外，上述极限的运算法则对于

的情形也都成立。

函数的极限是A，记作 （五）无穷小量和无穷大量 这个定义与数列极限的定义基本上一样，只不过在数列极1、无穷小量（简称无穷小） 限的定义中一定表示，且n是正整

定义 对于函数，如果自变量x在某个变化过

数；而在这个定义中，则要明确写出，且其中的x不一定是整数。 程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，如函数，当限地趋于常数2，因此有



（3）当定义 对于函数

时，函数

的极限 ，如果当时

时，

无

为无穷小量，一般记作



在微积分中常用希腊字母

来表示无穷小量。



因为，所以称

小量（当时）。

两个等价无穷小量可以互相代换，且有下列性质：



如果当

（

）时，

均为无

计算极限

3.无穷小的性质求极限

穷小量，又

～

，

～

，且

存在，则

等于

[答]



无限地趋于一个常数A，则称当的极限是A，记作



A.0B. C.1D.2 [答]A

这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作

4.第Ⅰ个重要极限

用。但是必须注意：等价无穷小量代换只能在极限的乘除

，或，或，或，运算中使用。 ，或

或中的一个。为了简单起见，我们没有专门再等于 时， 时，提出数列，而把它归入函数之中，并且有时将数列与函数常用的等价无穷小量代换有：当

～x； ～x； ～x；～A.0B.C.1D.3[答]D 统称为变量。

x ；

定理1.10 函数以A为极限的必要充分条件是：

这里说的"自变量x在某个变化过程中"是指当

可表示为A与一个无穷小量之和。

时，注意：

（1）无穷小量是变量它不是表示量的大小，而是表示变时，

量的变化趋势是变量无限趋于零的。

～x ；

～x；

～

；

A.0B.1 C.



对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层的理解为：

→0时

时，

其余类似。 ～

，

，则

若

等于 D.

[答]A

又如函数，当

无限地趋于常数2，因此我们说，当

函数

的极限是

2，即有



（2）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不当同的变化趋势，例如

例如当



存在，且

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