国家开放大学2022春(202207)《1079高等代数专题研究》期末考试真题及答案-开放本科

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试卷代号：1079

国家开放大学2022年春季学期期末统一考试 高等代数专题研究试题答案及评分标准

（供参考）

2022年7月

一、单项选择题（本题共2（

1. D2. C3. C4. D5. B

）分，每小题4分）

二、壊空题（本题共2（

6. 1 7.4

8. AX = AX 9. 对称矩阵

）分，每小题4分）

10. 非退化（可逆） 三、计算题（本题共45分，每小题15分）

11. 解：a4 = l.a0 = 12.可能的有理根是±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ± 12. . （5 分）

因为/（±1） * 0J（±3）。0J（±4）。0,/（±6）。0J（±12）丰 0J（-2）。0 故 ±1.-2. ±3. ±4. ±6.+12 都不是根.

而f（2） = 0.故2是/（、）的根.……（10分） 用综合除法验证.2是,（%）的二重根.……（15分）

12.解：把ai,a2,a3,a4写成列向量组成矩阵A,对A进行初等行变换，化成阶梯 形

矩阵：

（10

分）

由此可知a1（a2,a4是”的一组基• dimW = 3. .... （15

1 A -1 分）

13. 解：该二次型的矩阵为A = A 4 2 . （5分）

-1 2 4 .

利用A是正定实对称矩阵的充分必要条件是它的各阶顺序主子式都大于零，可 得

1 A -1

4 - I > 0, A 4

-1 2

解得一2 V4V 1. .... （15

2

=-4A2 - 4A2 4- 8 > 0 （15 分）

分） 15分） 四、证明题（本题

14. 证明：必要性.若实对称矩阵4与B相似，则存在可逆矩阵7,使得B=T-】AT. 由此可得

xBw = \XE-B\ = |AE - T-MTI = |7*T| • \AE - A\ • |T| = \XE - A\ = xA^ 因此.人与B有相同的特征多项式.……（6分）




充分性.若实对称矩阵4与B有相同的特征多项式，则它们有相同的特征值 %,….”.于是，存在正交矩阵P与Q.使得









P~AP =





r

足

•

，Q-'BQ =





人2

• •

进而

P~XAP = Q—BQ

B = QP^APQ-1 = (PQT)_i4(PQT)

因此A与B相似.……(15分)

本文来源：https://www.dy1993.cn/J524.html