北师大版八年级数学下册第一章复习(知识点+试题)

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第一次课 第一章 三角形的证明

知识点一：等腰三角形

1、 全等三角形的性质及判定

全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。

判定三角形全等的四种方法：SSS, SAS, ASA, AAS.

2、 等腰三角形的性质定理：

①等腰三角形，两底角相等（等边对等角）。

②等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合。( “三线合一”)

③等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。（特殊线段相等）。等腰三角形的判定定理：有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

知识点二：等边三角形

1、 等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°。

2、 等边三角形的判定定理：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

②三个角都相等的三角形是等边三角形。 知识点三：反证法

步骤：①假设：假设结论不成立；

②推论：将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论；

③假设不成立； ④原命题成立。

知识点四：直角三角形

1、 直角三角形性质定理：

①角的角度：直角三角形，两锐角互余。

②边的角度：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 2、 直角三角形的判定定理：

①角的角度：两锐角互余的三角形是直角三角形。

②边的角度：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此

三角形是直角三角形。）

3、 特殊的直角三角形：

①① 在直角三角形中，有一个角是30°，则它所对的直角边是斜边的一半。

②② 在直角三角形中，若直角边是斜边的一半，那么直角边所对的角为30°。

4、“HL”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。

（注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角。）

知识点五：垂直平分线（点到点）

1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2、判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。



性质定理

（垂直平分线 点到点的距离相等）

判定定理

3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个

顶点的距离相等。（证明“三点共线”：先作出其中两条边的交点，再证明该点在第三条线上）

知识点六：角平分线（点到边）

1、 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

2、 角平分线性质定理的符号语言：∵D在∠ABC的角平分线BM上，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF。




3、 角平分线判定定理：在一个角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。 4、 平分线判定定理的符号语言（∠ABC）：∵DE⊥AB，DF⊥BC，且 DE=DF，所以D在∠ABC的角平

分线。

性质定理

（角平分线 点到边的距离相等）

判定定理

3、三角形三内角的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离相等。

知识点七：尺规作图：

1、线段垂直平分线的画法：①分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交于线段的两侧)。②连接这两个交点。 2、等腰三角形的画法：①已知，求作②

例：已知等腰三角形的底和高，求作等腰三角形。 已知：线段a和b.

求作：等腰三角形△ABC，使BC=B，高AD=a. 解：作法： ①.作射线BE；

②.在射线BE上取一点C，使BC=b； ③作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D； ④以点D为圆心，以a为半径画弧，交MN于A； ⑤连接AB、AC.

则△ABC就是所求作的三角形。 4、 角平分线的画法（∠ABC）：

①① 以角的顶点B为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N； ②② 分别以M、N分别为圆心，以大于1/2MN为半径画弧，两弧交于点O； ③③ 连接BO。

专题一：证明线段相等

1、如图，已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，BE与AD交于点F，

若AE=EF，求证：AC=BF.









2、已知:如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC到E,使CE=CD,求证:BD=DE 。

专题二：证明角相等

3、如图，已知等边△ABC，现将△ABC折叠，使A点落在BC边上D点，折痕为EF，求证：∠BED=∠FDC．

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