《点集拓扑学》第6章 §6.4 完全正则空间,Tychonoff空间

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§6.4 完全正则空间，Tychonoff空间

本节重点:

掌握完全正则空间与空间的定义；

掌握正则,正规及完全正则空间之间的关系.

定义6.4.1 设X是一个拓扑空间．如果对于任意x∈X和X中任何一个不含点x的闭集B,存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)＝0以及对于任何y∈B有f(y)=1,则称拓扑空间X是一个完全正则空间．

完全正则的空间称为Tychonoff空间，或空间．

定理6.4.1 每一个完全正则空间都是正则空间．

证明 设X是一个完全正则空间．设x∈X，B是中的一个不含点x的闭集．则存在连续映射f：X→[0,1]，使得f(x)=0和对任何b∈B有f(b)=1.于是

([0,1/2))和

((1/2,1])

分别是点x和闭集B的开邻域，并且它们无交．这表明X是一个正则空间．

根据定理6.4.1明显可见，每一个Tychonoff空间都是容易看出，每一个习题第5题．

空间．根据Urysohn引理也

空间都是Tychonoff空间，但反之不真，有关的例子可以参见§6.2

定理6.4.2 每一个正则且正规的空间都是完全正则空间．

证明 设X是一个既正则又正规的空间．设x∈X，B是X中的一个不包含点x的闭集．由于X是一个正则空间，根据定理6. 2．l，点x有一个开邻域U使得

．令

则

A和B是X中无交的两个闭集．由于X是一个正规空间，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f: X→[0，l]使得对于任何y∈A有f（y）＝0和对于任何y∈B有f（y）＝1．由于x∈A，故f（x）=0，这就证明了X是一个完全正则空间．

定理6.4.3[Tychonoff定理] 每一个正则的Lindeloff空间都是正规空间． 证明 设X是一个正则的Lindeloff空间．设A和B是X中的两个无交的闭集．对于每一个x∈A，由于

．集族{

，根据定理6.2.1可见，存在x的一个开邻域

使得

即

|x∈A}是闭集A的一个开覆盖．由于Lindeloff空间的每一个闭


子空间都是Lindeloff空间（参见定理5.3.4），易见A的开覆盖{子族，设为

，仍然覆盖A．注意：对于每一个i∈Z+，有



|x∈A}中有一个可数

．同理，集

合B也有一个可数开覆盖

现在，对于每一个n∈Z+，令



显然都是开集．对于任何m，n∈Z+，



因为若设m≤n，则有

令





它们都是开集，并且





现在只剩下证明在n∈Z+使得x∈

和了．不失一般性，我们验证前者：如果x∈A，则存

与A无交，所以对于任意i∈Z+有

．另一方面，由于诸

．

§6.1，§6.2和本节中定义的（即Hausdorff），（即Tychonoff），

以及正则和正规等拓扑空间的性质统称为分离性公理．现将满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴涵关系列为图表6.1．

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