几何群论课程

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几何群论课程详细信息

课程号 英文名称 先修课程

00102888

Geometric group theory

抽象代数的关于群论的基本内容，一般拓扑，有代数拓扑关于基本群的概念会更佳。

几何群论是利用几何和拓扑的方法来研究无限群的一个新兴的研究领域。它的基本想法最早见于德国著名数学家Dehn于1910年左右提出的基本群的三大判定问题：单词问题，共轭问题及同构问题。特别地，Dehn成功利用双曲几何的方法解决了曲面群的单词问题。20世纪80年代左右， 著名数学家Thurston（菲尔兹奖得主）提出的几何化猜想，及Gromov（沃尔夫奖得主）提出的双曲群理论等重要结果极大地推动了几何群论发展成为一个独立的研究领域。近20年来，几何群论取得了许多有影响的重要工作。比如，以色列著名数学家Sela解决了逻辑学家Tarski的关于自由群的初等理论的重要猜想。另一重要的进展是，美国数学家Agol于2012年

中文简介

在基于数学家Wise等人工作的基础上，彻底解决了三维流形的几乎Haken猜想，以及Thurston的关于双曲流形的若干重要猜想。 Agol和Wise的方法是主要是基于几何群论的基础上进行的，这出乎许多纯拓扑学家的意料。可以预见，几何群论会继续与低维拓扑及其他重要研究领域相互影响，取得重要的进展。

因而通过该课程的学习，学生应该熟悉利用在几何空间上群的作用来研究群的各种性质的思想方法；特别是群上的大范围的几何特征，比如增长率，负曲率特征等；理解双曲群的拟等距不变性；双曲群的子群及其分类，及其在其边界上的作用等。

Geometric group theory is an area in mathematics devoted to the study of finitely generated groups via exploring the connections between algebraic properties of such groups and topological and geometric properties of spaces on which these groups act.

Geometric group theory, as a distinct area, is relatively new, and

英文简介

became a clearly identifiable branch of mathematics in the late 1980s and early 1990s. Geometric group theory closely interacts with low-dimensional topology, hyperbolic geometry, algebraic topology, computational group theory and differential geometry. There are also substantial connections with complexity theory, mathematical logic, the study of Lie Groups and their discrete subgroups, dynamical systems, probability theory, K-theory, and other areas of mathematics.

开课院系 通选课领域 是否属于艺术与美育

数学科学学院 否

学分

3






平台课性质 平台课类型 授课语言

中文

Metric Spaces of Non-Positive Curvature,Martin R. Bridson, André H?fliger,Springer,2011,2；

A course on geometric group theory,Brian H. Bowditch,Mathematical

教材 Society of Japan,2006；

Groups, Graphs and Trees: An Introduction to the Geometry of Infinite Groups,J. Meier,Cambridge University

Press,2008,Hyperbolic Groups,M. Gromov,MSRI Publ.,1987,

参考书

通过本课程的学习，学生应该熟悉利用在几何空间上群的作用来研究群的各种性质的思想方法；特别是群上的大范围的几何特征，比如增长率，负曲率特征等；理解双曲群的拟等距不变性；双曲群的子群及其分类，及其在其边界上的作用等。

1. Review of Group Theory: group action on sets, various classes of groups, (free) abelian groups, and characterization of abelian groups.

2. Free groups and their subgroups. Definitions of free groups and their construction by words; Ping-Pong Lemma; review of basics of covering space theory; subgroups in free groups.

3. Presentation of groups. Introduction of word problems, conjugacy problems and isomorphism problems.

教学大纲 4. Growth of groups. Cayley graph; word metric; growth function and growth rates; growth of abelian and nilpotent groups.

5. Quasi-isometries. Svarc-Milnor Lemma; Quasi-isometry

classification of abelian groups, Introduction of Gromov’s theorem on groups of polynomial growth.

6. Free products and HNN extensions. Group action on trees and some Bass-Serre Theory.

7. Hyperbolic spaces. Various definitions of hyperbolicity; stability of quasi-geodesics, contracting property of quasi-convex subspaces.

8. Hyperbolic groups and subgroups. Automatic structures; Tits alternative in hyperbolic groups; Quasi-convex subgroups.

本文来源：https://www.dy1993.cn/CH54.html