第1课时—— 正弦定理(1)(教师版)

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第1章 解三角形

【知识结构】

正弦定理

解三角形正、余弦定理的应用 余弦定理

听课随笔

【重点难点】

重点：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

难点：（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

第1课时 正弦定理（1）

【学习导航】 求另一边的对角，进而可知识络 求其它的边和角 直角三角形的边角关系→任【精典范例】

意三角形的边角关系→正弦【例1】在ABC中，A30，

C105，a10，求b，c． 定理

学习要求 分析：正弦定理可以用于解决1．正弦定理的证明方法有几已知两角和一边求另两边和种，但重点要突出向量证法； 一角的问题．

2．正弦定理重点运用于三角【解】因为A30，C105，

形中“已知两角一边”、“已所以B45．因为

abc知两边一对角”等的相关， sinAsinBsinC

问题 asinB10sin45

b102，所以【课堂互动】 sinAsin30asinC10sin105自学评价 c5256． sinAsin30

1．正弦定理：在△ABC中，

c的长分别为102和因此， b，abc

2R, 5256． sinAsinBsinC

2．正弦定理可解决两类问题： 【例2】根据下列条件解三角（1）两角和任意一边，求其形：

（1）b3,B60,c1；

它两边和一角；

（2）c6,A45,a2．

（2）两边和其中一边对角，


分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 【解】（1）bcsinBsinC

，

∴sinCcsinB1sin601b3

2，

bc,B60

，∴CB，∴C为

锐角， ∴C30,A90，∴ab2c22． （2）asinAcsinC

，

∴sinCcsinA6sin453a22

，

∴C60或120，

∴当

C60时，B75,b

csinB6sin75

31

sinCsin60

∴当

C120时，B15,b

csinB6sin15

3所

sinCsin60

1以，

b31,B75,C60或b31,B15,C120

．

追踪训练一

1．在△ABC中，

C1050，B450，c5，则b的值为（ A ） A 5(31) B 5(31) C 10 D 5(62) 2．在△ABC中，已知a3，

b4，sinB23，则sinA= （ C ） A 34

B 11

6

C 2

D 1 3．（课本P9练习第2题）在△ABC中，

（1）已知A750，B450，

c32，求a，b；

（2）已知A300，B1200，b12，求a，c。 略解：（1）a33，b23； （2）a43，c43（可以先判断是等腰三角形再解） 4．（课本P9练习第3题）根据下列条件解三角形：

（1）b40，c20，C250； （2）b13，a26，B300。 略解：（1）由题意知：

sinB2sinC2sin2500.423B580

或1220 A970

，a47或A330，

a25.8（要注意两解的情况） （2）由题意知：

A900C600c133 【选修延伸】 【例3】在锐角三角形ABC中，A=2B，a、b、c所对的角分别为A、B、C，试求ab

的范围。

分析：本题由条件锐角三角形

得到B的范围，从而得出a

b

的范围。 【解】在锐角三角形ABC中，

A、B、C<900

，即：B9002B90

0300B450， 

18003B900由正弦定理知：

absinAsinBsin2BsinB

2cosB

2,3

，

故所求的范围是：

2,3

。

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