共轭 动量

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共轭 动量

共轭的含义很广，即使在量子力学中，两个不可交换的算符也叫做共轭。但我认为题主应该问一下哈密顿力学中的(正则)共轭。

往浅显地说，广义坐标和广义动量地共轭关系就是“配对”。从拉格朗日形式入手，作正则变换得到哈密顿形式，动量就是 p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}

于是 p_i 就是 q_i 的共轭动量，它们两者之间互相共轭。而当 i\neq j 时，p_j 和 q_i 则不是互相共轭的。 如果从泊松括号来看，我们有

\begin{aligned} \{q_i,q_j\} &= 0\\ \{p_i,p_j\} &= 0\\ \{q_i, p_j\} &= \delta_{ij} \end{aligned}

换句话说，在一组正则坐标中，泊松括号不为零的对彼此共轭。这样看来，量子力学中把交换子和共轭联系起来也不是没有道理的。

从泊松括号来看待共轭关系有个好处就是，因为正则变换不改变泊松括号，所以共轭关系不会依赖于正则坐标的选择。至于正则变换不改变泊松括号的更本质原因，是因为泊松括号有其几何定义而非坐标定义，当然这就涉及到辛几何的内容了。辛流形就是配备了非退化二形式场 \omega^2 的 2n 维流形 M 。在局部正则坐标的表示下这个二形式场就是 \sum_i dq_i\wedge dp_i

这里也能看出一些共轭的关系。借助二形式场可以建立 TM 和 T^*M 之间的自然对应，就像黎曼流形上度规所做的事情一


样。我们把这个对应关系下从 T^*M 到 TM 的映射记为 I ，则泊松括号 \{F,G\} 就是 F 沿 I(dG) 的方向导数。 从辛几何出发，我们很容易理解正则坐标和正则变换的概念，包括共轭。当然，这是后话。

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